Algebre di Lie - il problema

(rif. Shlomo Sternberg - Aprile 2004)
Ricordiamo che valgono le seguenti espressioni per la somma di infiniti termini:
(1) (2)

L'argomento di queste serie (X) deve essere definito in un anello in cui abbia senso la convergenza. Può essere R (insieme dei numeri reali) o C (insieme dei numeri complessi) oppure L(n) insieme delle matrici nxn. La serie esponenziale converge ovunque, la serie logaritmica converge in un intorno dell'origine preso abbastanza piccolo. Se A e B sono due elementi dell'anello abbastanza prossimi all'origine, allora cerchiamo di capire il comportamento della espressione

(3)

ci aspettiamo che a questa operazione corrisponda un elemento C tale che exp(C) = exp(A)exp(B). Vediamo cosa accade utilizzando le espressioni (1) e (2) e utilizzando solo i termini del primo ordine:

D'altra parte, se teniamo conto anche dei termini di secondo ordine si ha:

=

La quantità [A,B]=AB-BA è chiamato il commutatore di A e B o anche parentesi di Lie. Consideriamo ora i termini del terzo ordine. Per aiutarci a prendere i termini giusti possiamo utilizzare una sorta di quadrato “magico”:

Per quanto riguarda il secondo termine della serie logaritmica, dobbiamo prendere i termini del quadrato precedente (lineari, quadratici e del terzo ordine) escludendo l'1.

Per quanto riguarda il terzo termine della serie logaritmica, dobbiamo prendere i termini quadratici dal precedente quadrato “magico” e moltiplicarli per il termine lineare

Abbiamo pertanto i seguenti raggruppamenti:

Ricompattando i termini si ottiene

D'altro canto si ha:

Da cui

Questo suggerisce che l'intera formula log[exp(A)exp(b)] potrebbe essere espressa come una somma infinita i cui termini sono successive parentesi di Lie. E' questo il contenuto della formula di Campbell-Baker-Hausdorfff.