Rotazioni

Una rotazione elementare nello spazio tridimensionale attorno all'asse z può essere rappresentata dalla matrice R:

Infatti, una rotazione del generico punto pR³ → p1=(x,y,z) attorno all'asse z di un angolo a lascia invariata la coordinata z, mentre la coordinata x e la y cambiano come mostrato in figura.

Se chiamiamo r la lunghezza del raggio che unisce l'origine con il punto in considerazione, risulta:

La trasformazione è quindi equivalente a moltiplicare la matrice R per il vettore

Se pensiamo di approssimare le funzioni seno e coseno in serie di Taylor e fermarci al primo ordine (il che equivale a richiedere che l'angolo a di rotazione sia molto piccolo) allora possiamo sostituire la matrice R con la matrice I+aT_z con I matrice identità e T_z definita come

La matrice T_x per una rotazione infinitesima attorno all'asse x è data da:

Ed infine, la matrice di rotazione infinitesima T_y attorno all'asse y è data da:

Come è possibile ottenere una rotazione finita a partire dalle T_x,T_y e T_z? Ricordiamo che risulta:

Questa operazione è chiamata esponenziazione. Visto che il prodotto di due rotazioni è ancora una rotazione, il problema è quello di esprimere il doppio esponenziale:

come un unico esponenziale risultante:

dove T è una combinazione di T_x,T_y e T_z. La difficoltà sta nel fatto che , a differenza dei numeri reali o complessi, il prodotto delle matrici nxn non commuta. Quindi il prodotto dei due esponenziali non può essere uguale alla somma degli esponenti (perchè la somma delle matrici invece commuta). Utilizziamo lo sviluppo in serie per eseguire la la moltiplicazioni tra i due esponenziali:

=

Per ottenere un esponenziale come risultato della serie prodotto dovremmo raggruppare i termini (aTx+bTy) in serie di potenze. Per la potenza zero ed il termine lineare non c'è problema, ma già a partire dal termine quadratico risulta:

Per rendere le due espressioni uguali occorre correggere il termine quadratico aggiungendo un commutatore:

Gli elementi T_x, T_y e T_z sono a volte detti rotatori infinitesimali. Poiché i commutatori di T_x, T_y e T_z sono essenziali nella definizione delle rotazioni finite, interessa conoscere la struttura dello spazio vettoriale generato dalle rotazioni infinitesimali attraverso l'operazione di parentesi di commutazione. Risulta:

quindi lo spazio delle rotazioni infinitesimali risulta chiuso rispetto rispetto alla operazione di parentesi di commutazione. Risulta inoltre verificata la seguente identità – identità di Jacobi:

cioè l'insieme delle rotazioni infinitesimali costituiscono un'algebra di Lie.