Definizioni

Spazio vettoriale g: è un insieme sul quale sono definite due operazioni dette somma vettoriale (+) e moltiplicazione (per uno) scalare con le seguenti proprietà:

1. dato a X R e x,y X g, x + y X g e ax X g, dove ax rappresenta il vettore x moltiplicato per lo scalare a;

2. la somma vettoriale gode delle proprietà commutativa (x + y = y + x) ed associativa (x + (y + z)) = ((x + y) + z):

3. la moltiplicazione scalare gode delle proprietà associativa ( (ab)x = a(bx)) e distributiva (a (x + y) = ax + ay);

4. esiste un elemento 0_X X g tale che 0_X + x = x, 0x = 0_X per ogni x X g;

5. per ogni x X X, 1x = x;

Consideriamo uno spazio vettoriale g. Una struttura di algebra è una applicazione bilineare, detta moltiplicazione, da g G g in g .L'operazione di moltiplicazione verrà denotata con il simbolo [,] detto commutatore. Una notazione utilizzata nell'ambito delle algebre di Lie è assegnare ad ogni x

una applicazione bilineare da g ad End g x → adx detta aggiunta e definita come adx(y) = [x,y] per ogni x,y X g .

La moltiplicazione è detta alterna se [x,x]=0 per ogni x X g .

(d.1) Se una moltiplicazione è alterna allora [x,y] = -[y,x

] per ogni x,y X g infatti:

Si definisce derivazione di g un a X End g tale che, ogni x,y X g:

Si definisce Der g lo spazio di tutte le derivazioni di g .

Si definisce algebra di Lie uno spazio vettoriale g per cui valgono le:

1. la moltiplicazione su g è alterna;

2. adx X Der g per ogni x X g;

La seconda condizione stabilisce che

(1)

per ogni x,y,z X g. La prima condizione implica la (d.1) e pertanto la (1) può essere riscritta come:

(2)

cioè l'identità di Jacobi → uno spazio vettoriale g nel quale è definita una applicazione bilineare di moltiplicazione da g G g in g e per la quale vale l'identità di Jacobi ha una struttura di algebra di Lie.

Per mettere in relazione algebre di Lie diverse si ricorre al concetto di omomorfismo. Una applicazione lineare F da g a h (con g e h algebre di Lie) si dice omomorfismo se F[x,y]=[Fx,Fy] per ogni x,y X g . Se F è biunivoco allora è un isomorfismo. Due algebre di Lie g e h si dicono isomorfe se esiste un isomorfismo da una all'altra.

Consideriamo a a b due sottoinsiemi di g . Sia [a ,b ] il sottospazio generato da tutti i commutatori [x,y] tali che x X a e y X b . Una sottoalgebra di un'algebra di Lie g è un sottospazio a tale [a,a] T a

Un'algebra di Lie è abeliana o commutativa se [g,g] = 0.

Per ogni spazio vettoriale V, possiamo porre [x,y]=0 ogni x,y X V, definendo in V una struttura di algebra di Lie abeliana.

Data un'algebra g, sia {x_i}una sua base.

• la struttura di g è determinata dai commutatori della base → infatti ogni altro elemento di g può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base.

• è alterna solo se [x_i,x_i] =0 e [x_i,x_j]=-[x_j,x_i] per ogni i,j appartenenti alla base.

• un'algebra alterna è un'algebra di Lie se e solo se l'identità di Jacobi è soddisfatta da ogni terna di elementi distinti della base.