Definizioni

Spazio vettoriale g: è un insieme sul quale sono definite due operazioni dette somma vettoriale (+) e moltiplicazione (per uno) scalare con le seguenti proprietà:

1. dato a X R e x,y X g, x + y X g e ax X g, dove ax rappresenta il vettore x moltiplicato per lo scalare a;

2. la somma vettoriale gode delle proprietà commutativa (x + y = y + x) ed associativa (x + (y + z)) = ((x + y) + z):

3. la moltiplicazione scalare gode delle proprietà associativa ( (ab)x = a(bx)) e distributiva (a (x + y) = ax + ay);

4. esiste un elemento 0_X X g tale che 0_X + x = x, 0x = 0_X per ogni x X g;

5. per ogni x X X, 1x = x;

Consideriamo uno spazio vettoriale g. Una struttura di algebra è una applicazione bilineare, detta moltiplicazione, da g G g in g .L'operazione di moltiplicazione verrà denotata con il simbolo [,] detto commutatore. Una notazione utilizzata nell'ambito delle algebre di Lie è assegnare ad ogni x

una applicazione bilineare da g ad End g x → adx detta aggiunta e definita come adx(y) = [x,y] per ogni x,y X g .

La moltiplicazione è detta alterna se [x,x]=0 per ogni x X g .

(d.1) Se una moltiplicazione è alterna allora [x,y] = -[y,x

] per ogni x,y X g infatti:

Si definisce derivazione di g un a X End g tale che, ogni x,y X g:

Si definisce Der g lo spazio di tutte le derivazioni di g .

Si definisce algebra di Lie uno spazio vettoriale g per cui valgono le:

1. la moltiplicazione su g è alterna;

2. adx X Der g per ogni x X g;

La seconda condizione stabilisce che

(1)

per ogni x,y,z X g. La prima condizione implica la (d.1) e pertanto la (1) può essere riscritta come:

(2)

cioè l'identità di Jacobi → uno spazio vettoriale g nel quale è definita una applicazione bilineare di moltiplicazione da g G g in g e per la quale vale l'identità di Jacobi ha una struttura di algebra di Lie.

Per mettere in relazione algebre di Lie diverse si ricorre al concetto di omomorfismo. Una applicazione lineare F da g a h (con g e h algebre di Lie) si dice omomorfismo se F[x,y]=[Fx,Fy] per ogni x,y X g . Se F è biunivoco allora è un isomorfismo. Due algebre di Lie g e h si dicono isomorfe se esiste un isomorfismo da una all'altra.

Consideriamo a a b due sottoinsiemi di g . Sia [a ,b ] il sottospazio generato da tutti i commutatori [x,y] tali che x X a e y X b . Una sottoalgebra di un'algebra di Lie g è un sottospazio a tale [a,a] T a

Un'algebra di Lie è abeliana o commutativa se [g,g] = 0.

Per ogni spazio vettoriale V, possiamo porre [x,y]=0 ogni x,y X V, definendo in V una struttura di algebra di Lie abeliana.

Data un'algebra g, sia {x_i}una sua base.

• la struttura di g è determinata dai commutatori della base → infatti ogni altro elemento di g può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base.

• è alterna solo se [x_i,x_i] =0 e [x_i,x_j]=-[x_j,x_i] per ogni i,j appartenenti alla base.

• un'algebra alterna è un'algebra di Lie se e solo se l'identità di Jacobi è soddisfatta da ogni terna di elementi distinti della base.

Rotazioni

Una rotazione elementare nello spazio tridimensionale attorno all'asse z può essere rappresentata dalla matrice R:

Infatti, una rotazione del generico punto pR³ → p1=(x,y,z) attorno all'asse z di un angolo a lascia invariata la coordinata z, mentre la coordinata x e la y cambiano come mostrato in figura.

Se chiamiamo r la lunghezza del raggio che unisce l'origine con il punto in considerazione, risulta:

La trasformazione è quindi equivalente a moltiplicare la matrice R per il vettore

Se pensiamo di approssimare le funzioni seno e coseno in serie di Taylor e fermarci al primo ordine (il che equivale a richiedere che l'angolo a di rotazione sia molto piccolo) allora possiamo sostituire la matrice R con la matrice I+aT_z con I matrice identità e T_z definita come

La matrice T_x per una rotazione infinitesima attorno all'asse x è data da:

Ed infine, la matrice di rotazione infinitesima T_y attorno all'asse y è data da:

Come è possibile ottenere una rotazione finita a partire dalle T_x,T_y e T_z? Ricordiamo che risulta:

Questa operazione è chiamata esponenziazione. Visto che il prodotto di due rotazioni è ancora una rotazione, il problema è quello di esprimere il doppio esponenziale:

come un unico esponenziale risultante:

dove T è una combinazione di T_x,T_y e T_z. La difficoltà sta nel fatto che , a differenza dei numeri reali o complessi, il prodotto delle matrici nxn non commuta. Quindi il prodotto dei due esponenziali non può essere uguale alla somma degli esponenti (perchè la somma delle matrici invece commuta). Utilizziamo lo sviluppo in serie per eseguire la la moltiplicazioni tra i due esponenziali:

=

Per ottenere un esponenziale come risultato della serie prodotto dovremmo raggruppare i termini (aTx+bTy) in serie di potenze. Per la potenza zero ed il termine lineare non c'è problema, ma già a partire dal termine quadratico risulta:

Per rendere le due espressioni uguali occorre correggere il termine quadratico aggiungendo un commutatore:

Gli elementi T_x, T_y e T_z sono a volte detti rotatori infinitesimali. Poiché i commutatori di T_x, T_y e T_z sono essenziali nella definizione delle rotazioni finite, interessa conoscere la struttura dello spazio vettoriale generato dalle rotazioni infinitesimali attraverso l'operazione di parentesi di commutazione. Risulta:

quindi lo spazio delle rotazioni infinitesimali risulta chiuso rispetto rispetto alla operazione di parentesi di commutazione. Risulta inoltre verificata la seguente identità – identità di Jacobi:

cioè l'insieme delle rotazioni infinitesimali costituiscono un'algebra di Lie.

Algebre di Lie - il problema

(rif. Shlomo Sternberg - Aprile 2004)
Ricordiamo che valgono le seguenti espressioni per la somma di infiniti termini:
(1) (2)

L'argomento di queste serie (X) deve essere definito in un anello in cui abbia senso la convergenza. Può essere R (insieme dei numeri reali) o C (insieme dei numeri complessi) oppure L(n) insieme delle matrici nxn. La serie esponenziale converge ovunque, la serie logaritmica converge in un intorno dell'origine preso abbastanza piccolo. Se A e B sono due elementi dell'anello abbastanza prossimi all'origine, allora cerchiamo di capire il comportamento della espressione

(3)

ci aspettiamo che a questa operazione corrisponda un elemento C tale che exp(C) = exp(A)exp(B). Vediamo cosa accade utilizzando le espressioni (1) e (2) e utilizzando solo i termini del primo ordine:

D'altra parte, se teniamo conto anche dei termini di secondo ordine si ha:

=

La quantità [A,B]=AB-BA è chiamato il commutatore di A e B o anche parentesi di Lie. Consideriamo ora i termini del terzo ordine. Per aiutarci a prendere i termini giusti possiamo utilizzare una sorta di quadrato “magico”:

Per quanto riguarda il secondo termine della serie logaritmica, dobbiamo prendere i termini del quadrato precedente (lineari, quadratici e del terzo ordine) escludendo l'1.

Per quanto riguarda il terzo termine della serie logaritmica, dobbiamo prendere i termini quadratici dal precedente quadrato “magico” e moltiplicarli per il termine lineare

Abbiamo pertanto i seguenti raggruppamenti:

Ricompattando i termini si ottiene

D'altro canto si ha:

Da cui

Questo suggerisce che l'intera formula log[exp(A)exp(b)] potrebbe essere espressa come una somma infinita i cui termini sono successive parentesi di Lie. E' questo il contenuto della formula di Campbell-Baker-Hausdorfff.